Enem 2017: Matemática


Created on 25 Aug, 2018
Revision of 27 Sep, 2022
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Enem

Prova: Exame de Matemática Enem 2017

Um cientista, em seus estudos para modelar a pressão arterial de uma pessoa, utiliza uma função do tipo P(t) = A + Bcos(kt) em que A, B e K são constantes reais positivas e t representa a variável tempo, medida em segundo. Considere que um batimento cardíaco representa o intervalo de tempo entre duas sucessivas pressões máximas.

Ao analisar um caso específico, o cientista obteve os dados:

Pressão mínima 78
Pressão máxima 120
Número de batimentos cardíacos por minutos 90

A função P(t) obtida, por este cientista, ao analisar o caso específico foi

(A) P(t) = 99 + 21cos(3πt)
(B) P(t) = 78 + 42cos(3πt)
(C) P(t) = 99 + 21cos(2πt)
(D) P(t) = 99 + 21cos(t)
(E) P(t) = 78 + 42cos(t)


Resolução Fácil e Rápida

Numa função trigonométrica, vale a seguinte fórmula entre a constante k e a freqüência f:
k = 2π.f

Como o enunciado fornece que são 90 bpm, então f = 3/2 bps. Substituindo na fórmula acima:
k = 3π

Dessa forma, as únicas opções possíveis são as letras (A) e (B).

Substituindo o cosseno da opção (B) por -1 verifica-se que:
Pmin = 78 - 42
Pmin = 37

O que não corresponde a pressão mínima de 78 fornecida pelo enunciado. Assim, por eliminação, a opção correta só pode ser (A).

Gabarito: (A)

Resolução Detalhada

  1. bpm para bps
    O enunciado fornece que são 90 bpm (batimentos por minuto). Podemos usar a seguinte regra de três para converter para bps (batimentos por segundo):

    f 1
    90 60

    f/90 = 1/60
    f = 3/2

  2. Constante k
    Numa função trigonométrica do tipo A + B.cos(k.t), vale a seguinte fórmula entre a constante k e a freqüência f:
    k = 2π.f

    Substituindo por f = 3/2:
    k = 3π

  3. Pressão Mínima e Máxima
    O valor mínimo da função cosseno corresponde a -1. Dessa forma, o valor mínimo de P(t) é:
    Pmin = A - B

    O valor máximo da função cosseno corresponde a +1. Dessa forma, o valor máximo de P(t) é:
    Pmax = A + B

  4. Constantes A e B
    De acordo com o enunciado, a pressão mínima e máxima correspondem a 78 e 120 respectivamente.
    Daí, podemos montar o seguinte sistema de equações:

    A - B = 78
    A + B = 120

    Resolvendo o sistema acima obtemos:

    A = 99
    B = 21

  5. Finalmente
    Substituindo os valores númericos de A, B e k obtemos:
    P(t) = 99 + 21.cos(3π.t)

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