Enem 2017: Matemática


Created on 25 Aug, 2018
Revision of 27 Sep, 2022
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Enem

Prova: Exame de Matemática Enem 2017

Para decorar uma mesa de festa infantil, um chefe de cozinha usará um melão esférico com diâmetro medindo 10 cm, o qual servirá de suporte para espetar diversos doces. Ele irá retirar uma calota esférica do melão, conforme ilustra a figura, e, para garantir a estabilidade deste suporte, dificultando que o melão role sobre a mesa, o chefe fará o corte de modo que o raio r da seção circular de corte seja de pelo menos 3 cm. Por outro lado, o chefe desejará dispor da maior área possível da região em que serão afixados os doces.

Para atingir todos os seus objetivos, o chefe deverá cortar a calota do melão numa altura h, em centímetro, igual a

(A) 5 - √91/2
(B) 10 - √91
(C) 1
(D) 4
(E) 5


Resolução Rápida e Fácil

Observe o triângulo pitagórico OAB (3-4-5). Logo, h+4=5 => h=1.

Gabarito: (C)

Resolução Detalhada

  1. Para que a região onde serão afixados os doces tenha a maior área possível, é necessário que o raio r seja o menor possível, ou seja, 3 cm.

  2. O enunciado fornece que o diâmetro do melão esférico mede 10 cm, portanto, o raio R dessa esfera mede 5 cm.

  3. No triângulo retângulo OAB, temos que o cateto AB mede 3 cm e a hipotenusa OB mede 5 cm. Sabendo disso, necessariamente o outro cateto OA deverá medir 4 cm para formar o triângulo pitagórico 3-4-5. Outra alternativa para encontrar a medida do cateto OA é usar o teorema de Pitágoras:
    OA2 + AB2 = OB2
    OA2 + 32 = 52
    OA2 + 9 = 25
    OA2 = 16
    OA = 4

    Confirmando, portanto, que OAB é o triângulo pitagórico de lados 3-4-5.

  4. Sabemos que o cateto OA e a altura h formam a seguinte relação com o raio R da esfera:
    h + OA = R
    h + 4 = 5
    h = 1

    Portanto, a altura h deverá medir h = 1 cm.

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