Enem 2017: Matemática


Created on 25 Aug, 2018
Revision of 27 Sep, 2022
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Enem

Prova: Exame de Matemática Enem 2017

Viveiros de lagostas são construídos, por cooperativas locais de pescadores, em formato de prismas reto-retangulares, fixados ao solo e com telas flexíveis de mesma altura, capazes de suportar a corrosão marinha. Para cada viveiro a ser construído, a cooperativa utiliza integralmente 100 metros lineares dessa tela, que é usada apenas nas laterais.

Quais devem ser os valores de X e de Y, em metro, para que a área da base do viveiro seja máxima?

(A) 1 e 49
(B) 1 e 99
(C) 10 e 10
(D) 25 e 25
(E) 50 e 50


Teoria Fácil e Rápida: Vértice da Função Quadrática

A função quadrática f(x) = ax2 + bx + c com a < 0 possui valor máximo no vértice:
(xv, yv) = (-b/2a, -Δ/4a)

Onde Δ é o discriminante da função:
Δ = b2 - 4ac

Resolução Fácil e Rápida

Sabemos que o perímetro da base é 100m, logo:
2x + 2y = 100 => x + y = 50

Podemos calcular a área da base pela fórmula A = xy.

Juntando essas duas equações temos a seguinte equação quadrática:
A = x.(50-x) = -x2 + 50x

A fórmula geral da equação quadrática é:
f(x) = ax2 + bx + c

Portanto:

a = -1
b = 50
c = 0
Δ = 2500

Daí, o máximo corresponde ao vértice (xv,yv) = (25,25)

Gabarito: (D)

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