Enem 2022: Matemática


Created on 22 Nov, 2022
Revision of 19 Jan, 2023
8 views
Maintainer:
Enem

Prova: Exame de Matemática Enem 2022

Em jogos de voleibol, um saque é invalidado se a bola atingir o teto do ginásio onde ocorre o jogo. Um jogador de uma equipe tem um saque que atinge uma grande altura. Seu recorde foi quando a batida do saque se iniciou a uma altura de 1,5 m do piso da quadra, e a trajetória da bola foi descrita pela parábola y = -x²/6 - 7x/3 + 12, em que y representa a altura da bola em relação ao eixo x (das abscissas) que está localizado a 1,5 m do piso da quadra, como representado na figura. Suponha que em todas as partidas algum saque desse jogador atinja a mesma altura do seu recorde.

A equipe desse jogador participou de um torneio de voleibol no qual jogou cinco partidas, cada uma delas em um ginásio diferente. As alturas dos tetos desses ginásios, em relação aos pisos das quadras, são:

  • ginásio I: 17 m;
  • ginásio II: 18 m;
  • ginásio III: 19 m;
  • ginásio IV: 21 m;
  • ginásio V: 40 m.

O saque desse atleta foi invalidado

(A) apenas no ginásio I.
(B) apenas nos ginásios I e II.
(C) apenas nos ginásios I, II e III.
(D) apenas nos ginásios I, II, III e IV.
(E) em todos os ginásios.


Resolução

A parábola y = -x²/6 - 7x/3 + 12 possui os seguintes parâmetros:

a = -1/6
b = -7/3
c = 12

Como a < 0, então a concavidade é pra baixo e, portanto, a parábola possui um máximo.
O máximo de uma parábola corresponde a ordenada do vértice, cuja fórmula é:

yv = -Δ/4a

onde Δ = b² - 4ac

Subsituindo pelos valores numéricos:

Δ = b² - 4ac
Δ = (-7/3)² - 4.(-1/6).12
Δ = 49/9 + 8
Δ = 121/9

Continuando a substituir pelos valores numéricos:

yv = -(121/9)/(4.-1/6)
yv = (121/9)/(2/3)
yv = (121/9) × (3/2)
yv = 121/6 ≈ 20,16m

Como o eixo x está 1,5m acima do piso, então a altura máxima da bola é de yv + 1,5 ≈21,66m.
Ou seja, o saque só não será invalidado no ginásio V.

Gabarito: (D)

Comments  •  0