Enem 2017: Matemática
Uma desenhista projetista deverá desenhar uma tampa de panela em forma circular. Para realizar esse desenho, ela dispõe, no momento, de apenas um compasso, cujo comprimento das hastes é de 10 cm, um transferidor e uma folha de papel com um plano cartesiano. Para esboçar o desenho dessa tampa, ela afastou as hastes do compasso de forma que o ângulo formado por elas fosse de 120º. A ponta seca está representada pelo ponto C, a ponta do grafite está representada pelo ponto B e a cabeça do compasso está representada pelo ponto A conforme a figura.
Após concluir o desenho, ela o encaminha para o setor de produção. Ao receber o desenho com a indicação do raio da tampa, verificará em qual intervalo este se encontra e decidirá o tipo de material a ser utilizado na sua fabricação, de acordo com os dados.
O tipo de material a ser utilizado pelo setor de produção será
(A) I
(B) II
(C) III
(D) IV
(E) V
Resolução Fácil e Rápida
Utilizando a lei dos cossenos no triângulo ABC:
BC2 = 102 + 102 – 2.10.10.cos(120º)
BC2 = 100 + 100 – 200.(-0,5)
BC2 = 300
BC = 10√3
BC = 17
Gabarito: (D)
Resolução Alternativa (Lei dos Senos)
O enunciado fornece um desenho feito com o auxílio de um compasso em que suas hastes medem 10 cm e sua abertura é de 120°. A questão consiste em calcular esse raio e verificar na tabela em que intervalo ele se encontra.
Observando o desenho, vemos que este consiste num triângulo isósceles cujos lados iguais (ie: pernas) são as hastes do compasso.
Dai vamos tentar descobrir os outros dois ângulos que podemos ver dentro desse triângulo. Sabemos que eles são congruentes pois trata-se de um triângulo isósceles. Chamando esse ângulo de α e aplicando a fórmula da soma dos ângulos internos:
2α + 120° = 180°
2α = 60°
α = 30°
Chamando de R o lado do triângulo o qual queremos saber seu valor (ie: o raio) e aplicando a lei do senos:
sen 30° / 10 = sen 120° / R
R sen 30° = 10 sen 120°
R.(1/2) = 10.(√3/2)
R/2 = 5√3
R = 10√3
Como o enunciado fornece que √3 = 1,7:
R = 10 . 1,7
R = 17 cm
Gabarito: (D)
Dúvidas e Comentários
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BC² = AB² + AC²– 2.AB.AC.cos(120∫)
BC² = 10² + 10²– 2.10.10.cos(120∫)
BC² = 100 + 100 – 200.(-1/2)
BC² = 100 + 100 + 100
BC² = 300
BC = 10 x 31/2 = 10 x 1,7 = 17cm
Como esta medida est· entre 15 e 21 cm, devemos usar o material IV.
Resposta: D
Se observarmos bem na imagem forma-se um triangulo, e como as duas hastes medem 10 cm teremos um triangulo isósceles, ou seja, que tem dois lados iguais.
Dai vamos tentar descobrir os outros dois ângulos que podemos ver dentro desse triângulo, vamos chama-los de α os dois ângulos até porque ele são de mesmo valor, então temos:
2α + 120° = 180°
2 . α = 60°
α = 30°
Essa e a regrinha da soma dos ângulos internos.
Em seguida iremos fazer a lei do senos:
R = é o lado do triângulo o qual queremos saber seu valor, ou seja o raio.
Senα / 10 = Sen 120° / R = 1/2 / 10 = √3/2 / R
R / 2 = 10√3 / 2 = R = 10√3
√3 = 1,7 (dado da questão)
R = 10 . 1,7 = 17 cm.
BC²=10²+10²-2.10.10.COS120º
BC=10.1,7
BC=17