Prova: Exame de Matemática Enem 2016

Uma liga metálica sai do forno a uma temperatura de 3 000ºC e diminui 1% de sua temperatura a cada 30 min.

Use 0,477 como aproximação para log₁₀ 3 e 1,041 como aproximação para log₁₀ 11.
O tempo decorrido, em hora, até que a liga atinja 30ºC é mais próximo de

(A) 22
(B) 50
(C) 100
(D) 200
(E) 400

Resolução

A temperatura T em função do tempo t é:
T(t) = 3000 × 0,99^t

Substituindo pelos valores do enunciado para T(t) = 30ºC:
30 = 3000 × 0,99^t

Simplificando:
0,01 = 0,99^t

Aplicando log em ambos os lados:
log(0,01) = log(0,99^t)

Utilizando as propriedade logarítmicas:
-2 = t.log(0,99)
-2 = t.log(3² × 11 ÷ 10²)
-2 = t.[2.log(3) + log(11) – 2.log(10)]
-2 = t.(2.0,477 + 1,041 – 2.1)
-2 = t . (-0,005)

Portanto t = 400 intervalos de 30 minutos, ou seja, a liga atinge 30ºC em 200 horas.

Gabarito: (D)

Resolução Alternativa

Diminuir 1% a cada 30 min significa que a temperatura é multiplicada por 0,99 a cada 30 min. Seja n a quantidade de 30 min necessária para que a temperatura inicial de 3000°C atinja 30°C:

3000.0,99ⁿ = 30
0,99ⁿ = 1/100
log(0,99ⁿ) = log(10^-2)
n.log(0,99) = –2

Como:
log(0,99) = log(99/100) = log(33.11/100) = 2.log(3) + log(11) – log(100) = 2.0,477 + 1,041 – 2 = –0,005

Então:
–0,005n = –2
n = 400

Assim, são necessárias 400 meias horas, ou seja, 200 horas.

Gabarito: (D)

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