Enem 2022: Matemática


Created on 21 Nov, 2022
Revision of 04 Feb, 2023
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Enem

Prova: Exame de Matemática Enem 2022

A World Series é a decisão do campeonato norte-americano de beisebol. Os dois times que chegam a essa fase jogam, entre si, até sete partidas. O primeiro desses times que completar quatro vitórias é declarado campeão.
Considere que, em todas as partidas, a probabilidade de qualquer um dos dois times vencer é sempre 1/2.
Qual é a probabilidade de o time campeão ser aquele que venceu a primeira partida da World Series?

(A) 35/64
(B) 40/64
(C) 42/64
(D) 44/64
(E) 52/64


Resolução

Vamos chamar os dois times de A e B. Tanto faz qual dos dois times foi o campeão mas, sem perda de generalidade, vamos supor que tenha sido o time A. Nesse caso, sabemos então que o time A venceu a 1ª e a última partida. Sabemos também que existem 4 possíveis cenários em que ele pode ser o campeão da World Series:

  • Com exatamente 4 partidas: AAAA
  • Com exatamente 5 partidas: A???A
  • Com exatamente 6 partidas: A????A
  • Com exatamente 7 partidas: A?????A

No cenário de 5 partidas, existem 3 possíveis casos: ABAAA, AABAA, AAABA
Já para os demais casos, é mais conveniente usar a fórmula de permutação com repetição:

N = n!/n1!.n2!

Daí:

  • A????A
    n = 4, n1 = 2 e n2 = 2
    N6 = 4!/2!2! = 6

  • A?????A
    n = 5, n1 = 3 e n2 = 2
    N7 = 5!/3!2! = 10

A probabilidade de cada um dos cenários é:

  • P4 = (½)³
  • P5 = 3.(½)⁴
  • P6 = 6.(½)⁵
  • P7 = 10.(½)⁶

A probabilidade de algum desses cenários ocorrer será a soma dessas probabilidades:

P = P4 + P5 + P6 + P7
P = (½)³ + 3.(½)⁴ + 6.(½)⁵ + 10.(½)⁶
P = (½)³ + 3.(½)⁴ + 3.(½)⁴ + 5.(½)⁵
P = (½)³ + 3.(½)³ + 5.(½)⁵
P = 4.(½)³ + 5.(½)⁵
P = 1/2 + 5/32
P = 21/32
P = 42/64

Gabarito: (C)

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