Enem 2017: Matemática


Created on 25 Aug, 2018
Revision of 27 Sep, 2022
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Enem

Prova: Exame de Matemática Enem 2017

A Igreja de São Francisco de Assis, obra arquitetônica modernista de Oscar Niemeyer, localizada na Lagoa da Pampulha, em Belo Horizonte, possui abóbadas parabólicas. A seta na Figura 1 ilustra uma das abóbadas na entrada principal da capela. A Figura 2 fornece uma vista frontal desta abóbada, com medidas hipotéticas para simplificar os cálculos.

Qual a medida da altura H, em metro, indicada na Figura 2?

(A) 16/3
(B) 31/5
(C) 25/4
(D) 25/3
(E) 75/2


Resolução Fácil e Rápida

A parábola da figura pode ser descrita pela equação:
y=a.(x+5).(x-5)
y=a.(x²-25)

Substituindo o ponto (4,3) na equação temos:
3=a.(16-25)
a=-1/3

Substituindo o ponto (0, H) na equação temos:
H = (-1/3).(0²-25)
H = 25/3

Gabarito: (D)

Resolução Detalhada

  1. O primeiro passo é representar matematicamente a parábola mencionada no enunciado.
    Podemos fazê-lo da seguinte forma:

    • definir a origem do sistema de coordenadas no centro da base da abóbada
    • as raízes da parábola correspondem aos pontos (+5; 0) e (-5; 0)
    • a altura máxima H está sobre o eixo de simetria da parábola (ie: eixo y) e corresponde ao ponto (0; H)
    • o ponto (+4; +3) pertence à parábola

    Daí, podemos representar todos esses itens na seguinte figura:

  2. O próximo passo é encontrar a equação dessa parábola.
    Tendo em vista que temos as raízes x1 e x2, o mais conveniente é usar a equação na forma fatorada:
    y = a.(x - x1).(x - x2)

    Substituindo x1 e x2 por seus respectivos valores numéricos:
    y = a.(x + 5).(x - 5)
    y = a.(x² - 25)

  3. Na equação acima ainda falta determinar o valor numérico do coeficiente a.
    Para tal, devemos substituir o par ordenado (x; y) pelo ponto (+4; +3):
    y = a.(x² - 25)
    3 = a.(16 - 25)
    a = -1/3

    Portanto, a equação da abóbada parabólica é:
    y = 25/3 - x²/3

  4. Para determinar o valor da altura máxima H basta substituir o par ordenado (x; y) da equação acima pelo ponto (0; H):
    H = 25/3 - 0²/3
    H = 25/3

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