Prova: Exame de Matemática Enem 2018

Um contrato de empréstimo prevê que quando uma parcela é paga de forma antecipada, conceder-se-á uma redução de juros de acordo com o período de antecipação. Nesse caso, paga-se o valor presente, que é o valor, naquele momento, de uma quantia que deveria ser paga em uma data futura. Um valor presente P submetido a juros compostos com taxa i, por um período de tempo n, produz um valor futuro V determinado pela fórmula

V = P.(1 + i)ⁿ

Em um contrato de empréstimo com sessenta parcelas fixas mensais, de R$ 820,00, a uma taxa de juros de 1,32% ao mês, junto com a trigésima parcela será paga antecipadamente uma outra parcela, desde que o desconto seja superior a 25% do valor da parcela.

Utilize 0,2877 como aproximação para ln(4/3) e 0,0131 como aproximação para ln (1,0132).

A primeira das parcelas que poderá ser antecipada junto com a 30ª é a

(A) 56ª
(B) 55ª
(C) 52ª
(D) 51ª
(E) 45ª

Resolução Fácil e Rápida

Para o desconto ser igual a 25% do valor da parcela, devemos ter:

P = 0,75V = 3/4 V

Substituindo na fórmula de valor futuro:

V = P.(1 + i)ⁿ
V = (3/4).V.(1 + i)ⁿ
4/3 = (1 + i)ⁿ

Aplicando ln em ambos os lados:

ln 4/3 = ln (1 + i)ⁿ
ln 4/3 = n.ln (1 + i)

Substituindo pelos demais valores dados no enunciado:

ln 4/3 = n.ln (1 + i)
ln 4/3 = n.ln 1,0132
n = 0,2877 / 0,0131
n = 21,96... ≈ 22

Finalmente, a primeira parcela antecipada será a 52ª (=30 + 22).

Gabarito: (C)

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