Prova: Exame de Matemática Enem 2019

Para certas molas, a constante elástica (C) depende do diâmetro médio da circunferência da mola (D), do número de espirais úteis (N), do diâmetro (d) do fio de metal do qual é formada a mola e do módulo de elasticidade do material (G). A fórmula evidencia essas relações de dependência.

C = (G.d⁴)/(8.D³.N)

O dono de uma fábrica possui uma mola M₁ em um de seus equipamentos, que tem características D₁, d₁, N₁ e G₁, com uma constante elástica C₁. Essa mola precisa ser substituída por outra, M₂, produzida com outro material e com características diferentes, bem como uma nova constante elástica C₂, da seguinte maneira:

I) D₂ = D₁/3;
II) d₂ = 3d₁;
III) N₂ = 9N₁.

Além disso, a constante de elasticidade G₂ do novo material é igual a 4 G₁.

O valor da constante C₂ em função da constante C₁ é

(A) C₂ = 972⋅C₁
(B) C₂ = 108⋅C₁
(C) C₂ = 4⋅C₁
(D) C₂ = 4/3 . C₁
(E) C₂ = 4/9 . C₁

Resolução Rápida e Fácil

Sabemos que a constante elástica das duas molas pode ser expressa por:

C₁ = (G₁.d₁⁴)/(8.D₁³.N₁)
C₂ = (G₂.d₂⁴)/(8.D₂³.N₂)

Adicionalmente o enunciado fornece as seguintes relações:

D₂ = D₁/3
d₂ = 3d₁
N₂ = 9N₁
G₂ = 4G₁

Substituindo essas relações na fórmula da constante elástica C₂:

C₂ = (4G₁.(3d₁)⁴)/(8.(D₁/3)³.9N₁)
C₂ = (4G₁.81.d₁⁴)/(8.(D₁³/27).9N₁)
C₂ = (324.G₁.d₁⁴)/(8.D₁³.N₁/3)
C₂ = (972.G₁.d₁⁴)/(8.D₁³.N₁)

Note que parte da expressão da direita pode ser substituída por C₁:

C₂ = 972.C₁

Gabarito: (A)

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