Prova: Exame de Matemática Enem 2018

Para apagar os focos A e B de um incêndio, que estavam a uma distância de 30m um do outro, os bombeiros de um quartel decidiram se posicionar de modo que a distância de um bombeiro ao foco A, de temperatura mais elevada, fosse sempre o dobro da distância desse bombeiro ao foco B, de temperatura menos elevada.

Nestas condições, a maior distância, em metro, que dois bombeiros poderiam ter entre eles é

(A) 30.
(B) 40.
(C) 45.
(D) 60.
(E) 68.

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Resolução Fácil e Rápida

Para obter-se a maior distância possível entre os dois bombeiros, podemos considerar que ambos estão sobre uma reta que une os focos de incêndio A e B:

Para o bombeiro 1 podemos montar a seguinte equação:

x₁ = 2.(30 − x₁)
x₁ = 20

Para o bombeiro 2 podemos montar a seguinte equação:

x₂ = 2.(x₂ − 30)
x₂ = 60

Daí, a distância entre os bombeiros será:

d = x₂ − x₁
d = 40

Gabarito: (B)

Resolução Detalhada

Podemos representar os focos de incêndio A e B, e o bombeiro P num plano cartesiano:

As possíveis posições (x,y) do bombeiro podem ser obtidas pela equação:

2·√((x − 30)² + y²) = √(x² + y²)

Simplificando obtemos:

4.(x − 30)² + 4y² = x² + y²
4.(x² − 60x + 900) + 4y² = x² + y²
4x² − 240x + 3600 + 4y² = x² + y²
3x² + 3y² − 240x + 3600 = 0

x² + y² − 80x + 1200 = 0

Isso corresponde a equação de uma circunferência centrada em x=40 e raio R=20:

(x − 40)² + y² = 20²
x² − 80x + 1600 + y² = 400
x² + y² − 80x + 1200 = 0

Finalmente, a maior distância entre os bombeiros corresponde ao diâmetro dessa circunferência, ou seja, 40m.

Gabarito: (B)

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