Enem 2019: Matemática

Prova: Exame de Matemática Enem 2019
Uma empresa de transporte disponibiliza, para embalagem de encomendas, caixas de papelão no formato de paralelepípedo retoretângulo, conforme dimensões no quadro.
Modelo da caixa | Comprimento (cm) | Largura (cm) | Altura (cm) |
---|---|---|---|
1 | 12 | 12 | 13 |
2 | 23 | 20 | 25 |
3 | 25 | 25 | 25 |
4 | 26 | 25 | 24 |
5 | 23 | 26 | 26 |
Para embalar uma encomenda, contendo um objeto esférico com 11 cm de raio, essa empresa adota como critério a utilização da caixa, dentre os modelos disponíveis, que comporte, quando fechada e sem deformá-la, a encomenda e que possua a menor área de superfície total.
Desconsidere a espessura da caixa.
Nessas condições, qual dos modelos apresentados deverá ser o escolhido pela empresa?
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
Resolução
Existem dois critérios que é necessário atenção:
-
A esfera deve caber dentro da caixa
Isso significa que nenhuma das medidas da caixa (comprimento, largura e altura) podem ser menores que o diâmetro da esfera (ie: 22cm).
Portanto, podemos ignorar as caixas 1 e 2. -
Menor área superficial
A área superficial de um paralelepípedo retoretângulo pode ser calculada por:S = 2.(ab + ac + bc)
Para as três últimas caixas temos:
C) 6.25.25 = 3750 cm²
D) 2.26.25 + 2.26.24 + 2.25.24 = 1300 + 1248 + 1200 = 3748 cm²
E) 2.23.26 + 2.23.26 + 2.26.26 = 1196 + 1196 + 1352 = 3744 cm²
Gabarito: (E)
Dica
Com uma calculadora dá pra fazer as contas acima rapidamente. Mas na hora da prova fazer todas essas contas é muito trabalhoso e susceptível a erros.
Uma alternativa que pode ajudar é usar produtos notáveis:
C) = 6.25²
D) = 2.26.25 + 2.26.24 + 2.25.24
= 2.(25+1).25 + 2.(25+1).(25-1) + 2.25.(25-1)
= (2.25.25 + 2.25) + (2.25² - 2) + (2.25² - 2.25)
= 6.25² - 2
E) = 2.23.26 + 2.23.26 + 2.26.26
= 4.(25-2).(25+1) + 2.(25+1).(25+1)
= 4.(25²+25-2.25-2) + 2.(25²+2.25+1)
= 4.(25²-25-2) + 2.(25²+2.25+1)
= 6.25² - 4.25 - 8 + 4.25 + 2
= 6.25² - 6
Ou seja, a caixa E tem a menor área superficial de todas com 6cm² a menos que a caixa C (embora não tenha sido calculado essa área).
Enquete
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