Prova: Exame de Matemática Enem 2019

Uma empresa de transporte disponibiliza, para embalagem de encomendas, caixas de papelão no formato de paralelepípedo retoretângulo, conforme dimensões no quadro.

Para embalar uma encomenda, contendo um objeto esférico com 11 cm de raio, essa empresa adota como critério a utilização da caixa, dentre os modelos disponíveis, que comporte, quando fechada e sem deformá-la, a encomenda e que possua a menor área de superfície total.
Desconsidere a espessura da caixa.

Nessas condições, qual dos modelos apresentados deverá ser o escolhido pela empresa?

(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5

Resolução

Existem dois critérios que é necessário atenção:

1. A esfera deve caber dentro da caixa
   Isso significa que nenhuma das medidas da caixa (comprimento, largura e altura) podem ser menores que o diâmetro da esfera (ie: 22cm).
   Portanto, podemos ignorar as caixas 1 e 2.

2. Menor área superficial
   A área superficial de um paralelepípedo retoretângulo pode ser calculada por:

   S = 2.(ab + ac + bc)
   

   Para as três últimas caixas temos:

   C) 6.25.25 = 3750 cm²
   D) 2.26.25 + 2.26.24 + 2.25.24 = 1300 + 1248 + 1200 = 3748 cm²
   E) 2.23.26 + 2.23.26 + 2.26.26 = 1196 + 1196 + 1352 = 3744 cm²

Gabarito: (E)

Dica

Com uma calculadora dá pra fazer as contas acima rapidamente. Mas na hora da prova fazer todas essas contas é muito trabalhoso e susceptível a erros.
Uma alternativa que pode ajudar é usar produtos notáveis:

C) = 6.25²

D) = 2.26.25 + 2.26.24 + 2.25.24
   = 2.(25+1).25 + 2.(25+1).(25-1) + 2.25.(25-1)
   = (2.25.25 + 2.25) + (2.25² - 2) + (2.25² - 2.25)
   = 6.25² - 2

E) = 2.23.26 + 2.23.26 + 2.26.26
   = 4.(25-2).(25+1) + 2.(25+1).(25+1)
   = 4.(25²+25-2.25-2) + 2.(25²+2.25+1)
   = 4.(25²-25-2) + 2.(25²+2.25+1)
   = 6.25² - 4.25 - 8 + 4.25 + 2
   = 6.25² - 6

Ou seja, a caixa E tem a menor área superficial de todas com 6cm² a menos que a caixa C (embora não tenha sido calculado essa área).

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