Prova: Exame de Matemática Enem 2018

Para ganhar um prêmio, uma pessoa deverá retirar, sucessivamente e sem reposição, duas bolas pretas de uma mesma urna.
Inicialmente, as quantidades e cores das bolas são como descritas a seguir:

• Urna A – Possui três bolas brancas, duas bolas pretas e uma bola verde;
• Urna B – Possui seis bolas brancas, três bolas pretas e uma bola verde;
• Urna C – Possui duas bolas pretas e duas bolas verdes;
• Urna D – Possui três bolas brancas e três bolas pretas.

A pessoa deve escolher uma entre as cinco opções apresentadas:

• Opção 1 – Retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna A;
• Opção 2 – Retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna B;
• Opção 3 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna C para a urna A; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna A;
• Opção 4 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna D para a urna C; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna C;
• Opção 5 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna C para a urna D; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna D.

Com o objetivo de obter a maior probabilidade possível de ganhar o prêmio, a pessoa deve escolher a opção

(A) 1.
(B) 2.
(C) 3.
(D) 4.
(E) 5.

Resolução

Precisamos calcular a probabilidade de cada uma das opções:

• Opção 1
  P₁ = 2/6 × 1/5 = 1/15 ≃ 6,6%

• Opção 2
  P₂ = 3/10 × 2/9 = 1/15 ≃ 6,6%

• Opção 3
  Caso tenha passado uma bola preta: P_3p = 3/7 × 2/6 = 1/7
  Caso tenha passado uma bola não-preta: P_3p' = 2/7 × 1/6 = 1/21
  P₃ = 1/2.P_3p + 1/2.P_3p' = 1/2.1/7 + 1/2.1/21 = 2/21 ≃ 9,5%

• Opção 4
  Caso tenha passado uma bola preta: P_4p = 3/5 × 2/4 = 3/10
  Caso tenha passado uma bola não-preta: P_4p' = 2/5 × 1/4 = 1/10
  P₄ = 1/2.P_4p + 1/2.P_4p' = 1/2.3/10 + 1/2.1/10 = 1/5 = 20%

• Opção 5
  Caso tenha passado uma bola preta: P_5p = 4/7 × 3/6 = 2/7
  Caso tenha passado uma bola não-preta: P_5p' = 3/7 × 2/6 = 1/7
  P₅ = 1/2.P_5p + 1/2.P_5p' = 1/2.2/7 + 1/2.1/7 = 3/14 ≃ 21,4%

Finalmente, a maior probabilidade ocorre na opção 5.

Gabarito: (E)

Enquete

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