Prova: Exame de Matemática Enem 2016

Sob a orientação de um mestre de obras, João e Pedro trabalharam na reforma de um edifício. João efetuou reparos na parte hidráulica nos andares 1, 3, 5, 7, e assim sucessivamente, de dois em dois andares. Pedro trabalhou na parte elétrica nos andares 1, 4, 7, 10, e assim sucessivamente, de três em três andares. Coincidentemente, terminaram seus trabalhos no último andar. Na conclusão da reforma, o mestre de obras informou, em seu relatório, o número de andares do edifício. Sabe-se que, ao longo da execução da obra, em exatamente 20 andares, foram realizados reparos nas partes hidráulica e elétrica por João e Pedro.

Qual é o número de andares desse edifício?

(A) 40
(B) 60
(C) 100
(D) 115
(E) 120

Resolução Fácil e Rápida

Os andares coincidentes entre João e Pedro formam uma PA com razão 6 e primeiro termo 1: {1, 7, 13 … A₂₀}, onde A₂₀ é o vigésimo andar coincidente.
Usando o termo geral da PA, A_n = A₁ + (n – 1) ⋅ r, obtemos que A₂₀=115.
Como os mestres de obra terminaram seus trabalhos no último andar, então o edifício possui 115 andares.

Gabarito: (D)

Resolução Detalhada

Os andares trabalhados por João formam uma PA, cuja a razão é igual a 2. Já os andares que Pedro trabalhou formam uma PA de razão igual a 3.

Contudo, temos a informação que em exatamente 20 andares tanto João quanto Pedro trabalharam juntos. Desta maneira, vamos tentar encontrar alguma relação entre esses andares.

Para isso, vamos analisar as duas progressões dadas. No esquema abaixo, marcamos com círculos vermelhos os andares em que ambos trabalharam.

Note que esses andares formam uma nova PA (1, 7, 13, ...), cuja razão é igual a 6 e que possui 20 termos, conforme indicado no enunciado do problema.

Sabemos ainda, que o último andar do prédio faz parte dessa PA, pois o problema informa que eles trabalharam juntos também no último andar. Assim, podemos escrever:

an = a1 + (n – 1) . r
a20 = 1 + (20 – 1) . 6 = 1 + 19 . 6 = 1 + 114 =115

Gabarito: (D)

Enquete

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