Prova: Exame de Matemática Enem 2018

A figura mostra uma praça circular que contém um chafariz em seu centro e, em seu entorno, um passeio. Os círculos que definem a praça e o chafariz são concêntricos.

O passeio terá seu piso revestido com ladrilhos. Sem condições de calcular os raios, pois o chafariz está cheio, um engenheiro fez a seguinte medição: esticou uma trena tangente ao chafariz, medindo a distância entre dois pontos A e B, conforme a figura. Com isso, obteve a medida do segmento de reta AB: 16 m.

Dispondo apenas dessa medida, o engenheiro calculou corretamente a medida da área do passeio, em metro quadrado.

A medida encontrada pelo engenheiro foi

(A) 4π.
(B) 8π.
(C) 48π.
(D) 64π.
(E) 192π.

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Resolução Fácil e Rápida

Usando a relação de pitágoras pra triângulos retângulos:

r²+8²=R²

Usando a fórmula da área da coroa circular:

S = π(R²-r²)
S = π(r²+8²-r²)
S = 64π

Gabarito: (D)

Resolução Alternativa: Relações Métricas na Circunferência

Lembrando da seguinte relação métrica na circunferência:

Podemos reescrever as medições do engenheiro da seguinte forma:

Daí:

8.8 = (R+r).(R-r)
64 = R²-r²

Aplicando na fórmula da área da coroa circular:

S = π(R²-r²)
S = 64π

Gabarito: (D)

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