Prova: Exame de Matemática Enem 2019

Uma empresa, investindo na segurança, contrata uma firma para instalar mais uma câmera de segurança no teto de uma sala. Para iniciar o serviço, o representante da empresa informa ao instalador que nessa sala já estão instaladas duas câmeras e, a terceira, deverá ser colocada de maneira a ficar equidistante destas. Além disso, ele apresenta outras duas informações:

(i) um esboço em um sistema de coordenadas cartesianas, do teto da sala, onde estão inseridas as posições das câmeras 1 e 2, conforme a figura.

(ii) cinco relações entre as coordenadas (x ; y) da posição onde a câmera 3 deverá ser instalada.

R1: y = x
R2: y = −3x + 5
R3: y = −3x + 10
R4: y = (1/3) x + 5/3
R5: y = (1/3) x + 1/10

O instalador, após analisar as informações e as cinco relações, faz a opção correta dentre as relações apresentadas para instalar a terceira câmera. A relação escolhida pelo instalador foi a

(A) R1.
(B) R2.
(C) R3.
(D) R4.
(E) R5.

Resolução Fácil e Rápida

O enunciado cita que a 3ª câmera deverá ser instalada de maneira a ficar equidistante das outras duas. Isso corresponde a reta mediatriz entre as duas câmeras 1 e 2:

Como a figura acima está razoavelmente em escala, então podemos inferir visualmente algumas relações da equação da reta mediatriz:

• o coeficiente angular é positivo
  Portanto, podemos ignorar as opções B e C.
• o coeficiente linear está entre 1 e 2
  Portanto, podemos ignorar as opções A e E.

Finalmente, por eliminação, sobrou apenas a opção D.

Gabarito: (D)

Resolução Alternativa: Deduzir a Equação

A distância de qualquer ponto P(x,y) pertencente a equação de reta mediatriz até C1 (3,1) será igual a distância deste mesmo P(xy) até C2 (2,4).

d(x,y) → (3,1) = d(x,y) → (2,4)
√[(x-3)² + (y-1)²] = √[(x-2)² + (y-4)²]
x² - 6x + 9 + y² - 2y + 1 = x² - 4x + 4 + y² - 8y + 16
-6x - 2y + 10 = -4x - 8y + 20
-2y + 8y = -4x + 6x + 20 - 10
6y = 2x + 10
3y = x + 5
y = (1/3)x + 5/3

Gabarito: (D)

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