Denominador Comum

Created on 30 Apr, 2022
Revision of 29 Sep, 2022
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Um problema recorrente em matemática é o de transformar frações em frações equivalentes mas num denominador comum. Tipicamente isso ocorre em:

  • comparação de frações
  • adição ou subtração de frações

Um método simples para encontrar denominadores comuns é listar ordenadamente várias frações equivalentes e identificar quais possuem o mesmo denominador.

Exemplo: Encontre frações equivalentes a 1/2 e 1/3 mas de denominador comum.

1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10 = 6/12 = 7/14 = ...
1/3 = 2/6 = 3/9 = 4/12 = 5/15 = 6/18 = 7/21 = ...

Observe que as frações equivalentes em denominador comum são:

  • 3/6 e 2/6
  • 6/12 e 4/12
  • ... etc ...

Daí, o menor denominador comum é 6.

Note que não é necessário fazer uma longa lista de frações equivalentes para identificar os denominadores comuns. Basta encontrar o menor denominador comum que todos os seus múltiplos também serão denominadores comuns. Podemos usar essa característica para modificar ligeiramente o método anterior.

Exemplo: Encontre o menor denominador comum das frações 1/2 e 1/3.

Os múltiplos de 2 e 3 correspondem aos seguintes conjuntos:
M(2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, ...}
M(3) = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, ...}

Os múltiplos comuns de 2 e 3 correspondem à interseção dos conjuntos acima:
M(2) ∩ M(3) = {6, 12, 18, ...}

O menor múltiplo dessa interseção é chamado de mínimo múltiplo comum ("MMC") e corresponde a:
MMC(2, 3) = 6

Finalmente, o menor denominador comum é 6.

Exercícios de Aprofundamento

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