Um problema recorrente em matemática é o de transformar frações em frações equivalentes mas num denominador comum. Tipicamente isso ocorre em:

• comparação de frações
• adição ou subtração de frações

Um método simples para encontrar denominadores comuns é listar ordenadamente várias frações equivalentes e identificar quais possuem o mesmo denominador.

Exemplo: Encontre frações equivalentes a 1/2 e 1/3 mas de denominador comum.

1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10 = 6/12 = 7/14 = …
1/3 = 2/6 = 3/9 = 4/12 = 5/15 = 6/18 = 7/21 = …

Observe que as frações equivalentes em denominador comum são:

• 3/6 e 2/6
• 6/12 e 4/12
• … etc …

Daí, o menor denominador comum é 6.

Note que não é necessário fazer uma longa lista de frações equivalentes para identificar os denominadores comuns. Basta encontrar o menor denominador comum que todos os seus múltiplos também serão denominadores comuns. Podemos usar essa característica para modificar ligeiramente o método anterior.

Exemplo: Encontre o menor denominador comum das frações 1/2 e 1/3.

Os múltiplos de 2 e 3 correspondem aos seguintes conjuntos:
M(2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, …}
M(3) = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, …}

Os múltiplos comuns de 2 e 3 correspondem à interseção dos conjuntos acima:
M(2) ∩ M(3) = {6, 12, 18, …}

O menor múltiplo dessa interseção é chamado de mínimo múltiplo comum (“MMC”) e corresponde a:
MMC(2, 3) = 6

Finalmente, o menor denominador comum é 6.

Toda fração possui frações equivalentes, ou seja, frações que representam uma mesma quantidade mas são escritas com outros valores de numerador e denominador. Exemplos:

• 1/2 = 2/4 = 3/6
• 2/3 = 4/6 = 6/9

Quando perguntamos qual é o denominador comum das frações 1/2 e 2/3, queremos saber qual o denominador em que podemos reescrever ambas as frações de tal forma que o denominador seja o mesmo. Exemplos:

• 1/2 = 3/6
• 2/3 = 4/6

Portanto, o número 6 é um denominador comum das frações 1/2 e 2/3.

Observação

Note que 6 é apenas um dos denominadores em comum entre 1/2 e 2/3 (mais especificamente é o menor denominador comum). Mas, na verdade, existem infinitos denominadores em comum dessas duas frações:

• 1/2 = 3/6 = 6/12 = 9/18 …
• 2/3 = 4/6 = 8/12 = 12/18 …

Ou seja, além de 6, temos também os seguintes denominadores em comum: 12, 18 …
Curiosamente, todos múltiplos de 6. Será coincidência?

Exercícios de Aprofundamento

• Enem 2016: Matemática
• Enem 2016: Matemática
• Enem 2019: Matemática

Leitura Adicional

• Frações Equivalentes
• Fração Própria | Fração Imprópria | Fração Mista
• Mínimo Múltiplo Comum
• O que é o denominador comum?
• Como encontrar o denominador comum de duas frações?