Prova: Exame de Matemática Enem 2018

Um quebra-cabeça consiste em recobrir um quadrado com triângulos retângulos isósceles, como ilustra a figura.

Uma artesã confecciona um quebra-cabeça como o descrito, de tal modo que a menor das peças é um triângulo retângulo isósceles cujos catetos medem 2 cm.

O quebra-cabeça, quando montado, resultará em um quadrado cuja medida do lado, em centímetro, é

(A) 14
(B) 12
(C) 72–√2
(D) 6 + 42–√2
(E) 6 + 22–√2

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Resolução 1

Observe a figura:

A diagonal do quadrado é 14√2, assim o lado é 14.

Gabarito: (A)

Resolução 2

Sendo l cm a medida do lado do quadrado, tem-se:

Resolução 3

Como os triângulos retângulos possui dois lados iguais e um ângulo reto, então, podemos concluir que são metades de um quadrado. E concluímos também que o terceiro lado seria a diagonal desse quadrado.

Vamos trabalhar os cálculos nessa sequencia em vermelho. Observe que a parte azul terá algumas medidas iguais às encontradas na parte vermelha.

^{Diagonal de um quadrado = lado x√2}

Logo, o terceiro lado do triângulo 1º:
2 x √2 = 2√2 cm

do 2º quadrado:
2√2 x √2 = 2√4 = 2 x 2 = 4 cm

diagonal do 3º quadrado:
4 x √2 = 4√2 cm

diagonal do 4º quadrado:
4√2 x √2 = 4√4 = 4 x 2 = 8 cm

diagonal do 5º quadrado:
8 x √2 = 8√2 cm

Diagonal do quadrado maior é:
diagonal do 5º quadrado + diagonal do 3º quadrado + diagonal do 1º quadrado.

8√2 + 4√2 + 2√2 = 14√2

Como a diagonal de um quadrado é lado x √2, então o lado do quadrado mede 14 cm.

Resposta: Letra A

Resolução 4

Como a menor das peças é um triângulo retângulo isósceles, cujos catetos medem 2 cm, podemos afirmar que AB = 2 cm. Além disso, como todos os triângulos são triângulos retângulos isósceles, segue:

BD = BC = AB / cos 45º = AB.√2 = 2√2

CD = BC / cos 45º = BC.√2 = 4

DF = DE = CD / cos 45º = CD√2 = 4√2

BF = BD + DF = 2√2 + 4√2 = 6√2

BG = BF / cos 45º = BF√2 = 12

Portanto, o lado do quadrado mede 2 + 12 = 14 cm.

GABARITO:
a) 14

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