O que é uma expressão racional?

Expressão racional é a razão entre dois polinômios. São exemplos:

• (3x + 8) / (x + 1)
• (x² + 7x + 12) / (x² + 5x + 6)
• (2x⁵ + 3x³) / (4x² + 9)

Caso a razão seja entre duas expressões algébricas, além dessa razão ser outra expressão algébrica, também será uma expressão fracionária. São exemplos:

• (√x + 1) / (x³ - 1)
• (2^x - 5) / (2x + 1)

Note que expressões fracionárias não são necessariamente expressões racionais, assim como expressões algébricas também não são necessariamente expressões racionais.
No entanto, expressões racionais necessariamente são expressões algébricas e fracionárias.

Passo a Passo para Simplificar

Para simplificar uma expressão racional, o procedimento mais comum é reescrever numerador e denominador em suas formas fatoradas para então cancelar os termos em comum. Lembrando que:

• Fatoração de Polinômios
  Assim como a fatoração de números inteiros consiste em reescrevê-los como o produto de termos mais simples (ou seja, números menores), a fatoração de polinômios também consiste em reescrevê-los como o produto de termos mais simples (nesse caso, polinômios de ordem menor).

• Cancelar os Termos em Comum
  Os termos que estiverem tanto no numerador quanto no denominador podem ser cancelados.

Exemplo

Simplifique a expressão racional: (x² - x - 12) / (x² + 5x + 6)

1. Encontre as raízes dos polinômios
   Use a fórmula de Bhaskara (ou algum outro método) para encontrar as raízes dos polinômios.
   Aqui, o numerador tem raízes -3 e +4, enquanto que o denominador tem raízes -3 e -2.

2. Reescreva os polinômios na forma fatorada
   De posse das raízes dos polinômios, podemos facilmente fatorá-los:
   x² - x - 12 = (x + 3).(x - 4)
   x² + 5x + 6 = (x + 3).(x + 2)

3. Reescreva a expressão racional original na forma fatorada
   (x + 3).(x - 4) / (x + 3).(x + 2)

4. Cancele os fatores em comum
   O único fator que o numerador e o denominador têm em comum é o termo (x + 3). Podemos cancelá-los para obter uma expressão mais simples:
   (x - 4)/(x + 2)

Portanto, podemos simplificar a expressão racional original para:

(x² - x - 12) / (x² + 5x + 6) = (x - 4)/(x + 2)

Note que agora não podemos mais simplificar a expressão:

• O “4” do numerador não pode cancelar o “2” do denominador pois ambos estão dentro de parênteses.
• O “x” do numerador não pode cancelar o “x” do denominador pois ambos estão dentro de parênteses.

Leitura Adicional

• Quem é o pai da aritmética?
• Como se calcula a média aritmética?
• O que é aritmética básica em matemática?